Buktikan bahwa[tex] \int\limits { \sqrt{t^2-4} } \, dt =[/tex] [tex] \\\boxed{\dfrac{1}{2}t \sqrt{t^2-4}- 2.~log( \sqrt{t^2-4}+t ) +C}[/tex]

bentuk (ax)² + b² itu ciri khas dari trigonometri.

Jadi, subtitusi dengan trigonometri.

misal,
u = arccos(2/t)
maka,
2/t = cosu
t.cosu = 2
t = 2/cosu
t = 2.secu

dt = 2.tanu.secu du

maka,

∫√(t² - 4) dt = ∫√((2.secu)² - 4) . 2.tanu.secu du
= ∫√(4sec²u - 4).2.tanu.secu du
= ∫√(4(sec²u - 1)) . 2.tanu.secu du
= ∫√(4.tan²u).2.tanu.secu du
= ∫2.tanu.2.tanu.secu du
= ∫4.tan²u.secu du
= 4∫(sec²u - 1)secu du
= 4∫sec³u - secu du
= 4∫sec³u - 4∫secu du
= 4((1/2)(sec²u.sinu)+ (1/2)∫secu du) - 4∫secu du
= 4((1/2)sec²u.sinu + (1/2)ln(tanu+secu)) - 4ln(tanu+secu) + C
= 2.sec²u.sinu + 2ln(tanu+secu) - 4ln(tanu+secu) + C
= 2.sec²u.sinu - 2ln(tanu+secu) + C

cosu = 2/t

pake yang de/mi sa/mi de/sa, jadi,

sinu = √(t² - 4)/t
secu = t/2
tanu = √(t² - 4)/2

2.sec²u.sinu - 2ln(tanu+secu) + C = 2.(t/2)².(√(t²-4)/t) - 2ln(√(t²-4)/2 + t/2) + C
= 2(t²/4).√(t²-4)/t - 2.ln((1/2).(√(t²-4) + t)) + C
= (1/2)t√(t² - 4) - 2.(ln(1/2) + ln(√(t²-4) + t)) + C

karena ln(1/2) itu konstanta, maka anggap ln(1/2) = C

Jadi,

(1/2)t√(t² - 4) - 2.(ln(√(t²-4) + t)) + C