jika sisa pembagian suku banyak f(x) dengan x, x-1, dan x+2 berturut turut adalah 2,3, dan 4, maka sisa pembagian suku banyak f(x) oleh x3 + x2 - 2x adalah...

Kategori Soal : Matematika - Suku Banyak
Kelas : XI (2 SMA)
Pembahasan :
Halo, saya akan menjawab dengan dua cara, yaitu dengan cara pendek untuk jawaban pastinya dan cara panjang untuk jawaban yang disertai penjelasan lengkap.

Jawaban dengan cara singkat
Suku banyak f(x) bila dibagi dengan x, (x - 1), dan (x + 2) berturut-turut adalah 2, 3, dan 4 maka sisa pembagian suku banyak f(x) oleh x³ + x² - 2x = x(x² + x - 2) = x(x - 1)(x + 2) adalah S(x).
Misalnya sisa S(x) = ax² + bx + c dan hasil bagi H(x), maka
f(x) = x(x - 1)(x + 2) H(x) + ax² + bx + c
f(0) = c = 2                   ... (1)
f(1) = a + b + c = 3 ⇔ a + b + 2 = 3 ⇔ a + b = 3 - 2 ⇔ a + b = 1 ... (2)
f(-2) = 4a - 2b + c = 4 ⇔ 4a - 2b + 2 = 4 ⇔ 4a - 2b = 4 - 2 ⇔ 4a - 2b = 2 ⇔ 2a - b = 1  ... (3)
Persamaan (2) dan (3) kita eliminasi b, diperoleh
a + b = 1
2a - b = 1
________+
⇔ 3a = 2
⇔ a = 2/3
Nilai a = 2/3 kita substitusikan ke persamaan (2) diperoleh
a + b = 1
⇔ b = 1 - a
⇔ b = 1 - 2/3
⇔ b = 1/3
Jadi, sisa S(x) = ax² + bx + c ⇔ S(x) = 2/3 x² + 1/3 x + 2

Jawaban dengan cara panjang
Suku banyak atau polinomial p dalam k berderajat n memiliki bentuk umum :
a(n)xⁿ + a(n - 1)xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x¹ + a₀
dengan a(n), a(n - 1), ..., a₂, a₁, a₀ merupakan konstanta real;
a(n) koefisien xⁿ, a(n - 1) koefisien xⁿ⁻¹, dan seterusnya
a₀ merupakan suku tetap
n merupakan bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak.

Misalnya suku banyak f(x) dibagi dengan P(x) memberikan hasil bagi H(x) dan sisanya S(x) maka diperoleh hubungan
f(x) = P(x) . H(x) + S(x)
Jika f(x) merupakan suku banyak berderajat n dan P(x) merupakan pembagi berderajat m dengan m ≤ n maka
1. H(x) adalah hasil bagi berderajat n - m
2. S(x) adalah sisa pembagian berderajat maksimum (m - 1).

Penerapan teorema sisa dapat dikembangkan untuk menentukan sisa pada pembagian suku banyak dengan suku banyak berderajat dua atau lebih yang dapat difaktorkan menjadi faktor-faktor linear.

Mari kita lihat soal tersebut.
Suku banyak f(x) bila dibagi dengan (x - 0), (x - 1), dan (x + 2) berturut-turut adalah 2, 3, dan 4 maka sisa pembagian suku banyak f(x) oleh x³ + x² - 2x = x(x² + x - 2) = x(x - 1)(x + 2) adalah S(x). Oleh karena pembagi x(x - 1)(x + 2) berderajat tiga, maka sisanya maksimum berderajat dua.
Misalnya sisa S(x) = ax² + bx + c dan hasil bagi H(x), maka
f(x) = x(x - 1)(x + 2) H(x) + ax² + bx + c
f(0) = c = 2                   ... (1)
f(1) = a + b + c = 3 ⇔ a + b + 2 = 3 ⇔ a + b = 3 - 2 ⇔ a + b = 1 ... (2)
f(-2) = 4a - 2b + c = 4 ⇔ 4a - 2b + 2 = 4 ⇔ 4a - 2b = 4 - 2 ⇔ 4a - 2b = 2 ⇔ 2a - b = 1  ... (3)
Persamaan (2) dan (3) kita eliminasi b, diperoleh
a + b = 1
2a - b = 1
________+
⇔ 3a = 2
⇔ a = 2/3
Nilai a = 2/3 kita substitusikan ke persamaan (2) diperoleh
a + b = 1
⇔ b = 1 - a
⇔ b = 1 - 2/3
⇔ b = 1/3
Jadi, sisa S(x) = ax² + bx + c ⇔ S(x) = 2/3 x² + 1/3 x + 2.

Semangat Belajar!